رابطه ریاضیات و هفت پل کونیگسبرگ - بیست آمار

بین لهستان و لیتوانی و در کرانه دریای بالتیک، قسمت کوچکی از کشور روسیه واقع شده است که حدود 320 کیلومتر با مرز این کشور فاصله دارد. استان کالینینگراد (Kaliningrad oblast) که یک استان برون بوم متعلق به روسیه است، در ابتدا استانی از پروس بود تا این که بعد از خاتمه جنگ جهانی دوم و دیدار نیروهای متحدین در پوتسدام به اتحاد جماهیر شوروی پیوست. در آن موقع کالینینگراد به عنوان کونیگسبرگ (Königsberg) شناخته می شد.

اگر شما یک ریاضیدان باشید، نام کونیگسبرگ برای شما آشنا خواهد بود. رابطه کونیگسبرگ با علوم و ریاضیات به قرن هجده برمی گردد. در آن موقع این شهر یک قطب علمی و فرهنگی در آلمان، لهستان و لیتوانی محسوب می شد. کونیگسبرگ، محل تولد ریاضیدان های معروفی است؛ مانند کریستین گلدباخ (Christian Goldbach) که ما او را امروزه برای حدس گلدباخ می شناسیم که یکی از قدیمی ترین و شناخته شده ترین مسائل حل نشده در نظریه اعداد است و داوید هیلبرت (David Hilbert) کسی که فضاهای هیلبرت (Hilbert spaces) را فرمول سازی کرد و بعلاوه کارل نومان (Carl Neumann) که برای سری معروف نومان شناخته شده است.

کونیگسبرگ بعلاوه منزل فیزیکدان مشهور گوستاو روبرت کیرشهف (Gustav Robert Kirchhoff) است که قوانین کیرشهرف (Kirchhoffs laws) او اساس طراحی هر مدار الکتریکی و الکترونیکی است و بعلاوه شیمیدان برنده جایزه نوبل اوتو والاخ (Otto Wallach) که برای ترکیبات آلیفاتیک حلقوی (alicyclic compound) شناخته شده است.

فیلسوف معروف ایمانوئل کانت (Immanuel Kant) نیز دانشمند دیگری اهل کونیگسبرگ بود که به قدری به شهر محل تولدش افتخار می کرد که در تمام طول عمرش این شهر را ترک نکرد.

اگرچه تمام این بچه ها کونیگسبرگ باعت افتخار این شهر بودند، اما در حقیقت این ریاضیدان سوئیسی لئونارد اویلر (Leonhard Euler) بود که نام کونیگسبرگ را جاودانه کرد.

کونیگسبرگ یا کالینینگراد کنونی روی رود پرگولیا (Pregolya river) واقع شده است. با عبور رود از میان شهر جریان به دو شاخه تقسیم می گردد که باعث ایجاد دو جزیره بزرگ با نام های Lomse و Kneiphof می گردد. در قرن هجدهم این جزیره ها به وسیله هفت پل به کناره های شمالی و جنوبی رودخانه و بعلاوه به یکدیگر متصل بودند.

وقتی شهروندان کونیگسبرگ در قدم زدن های عصرانه روزهای یکشنبه از روی این پل ها عبور می کردند، سوالی فکر آن ها را درگیر کرد: آیا امکان داشت مسیری از میان شهر طراحی گردد که از تمام هفت پل شهر یک و فقط یک مرتبه عبور کند؟ کسی نتوانست جوابی پیدا کند تا این که لئونارد اویلر در سنت پترزبورگ درباره این مسئله شنید.

در ابتدا اویلر از این که شهردار دانتسیگ (Danzig) برای درخواست یاری به او نامه نوشته بود، آزرده شد. در سال 1736 اویلر در نامه ای خطاب به شهردار دانتسیگ ناخشنودی خود را اظهار کرد:

آقای محترم؛ متوجه هستید که این نوع حل هیچ ارتباطی با ریاضیات ندارد. من متوجه نمی شوم چرا به جای شخص دیگری از یک ریاضیدان انتظار دارید تا جواب را پیدا کند؛ به این دلیل که یافتن جواب فقط به منطق بسته است و به هیچ اصل ریاضی بستگی ندارد.

اگر چه اویلر مسئله را بدیهی دانست، ولی با این حال مجذوب آن شد. مدتی بعد در همان سال اویلر نامه ای به جیووانی ماریونی (Giovanni Marinoni)، ریاضیدان و مهندس ایتالیایی نوشت:

این سوال خیلی ابتدایی است، اما به نظر من ارزش توجه داشت، چون نه هندسه، نه جبر و نه هنر برای حل آن کافی نیست. با این دیدگاه به نظرم رسید که شاید با هندسه موقعیت مرتبط باشد که لایبنیتس (Leibniz) زمانی برای آن بسیار مشهور بود. بنابراین بعد از کمی تفکر راه حلی ساده اما اساسی یافتم که به یاری آن یک شخص می تواند به تمام سوال هایی از این دست با هر تعداد پل و به هر ترتیب پاسخ دهد.

خیلی زود اویلر پاسخی پیدا نموده بود. پاسخ خیلی هیجان انگیز نبود. نه؛ شما نمی توانید از همه پل ها یک مرتبه عبور کنید و به مکان اول خود بازگردید. اما در حل این مسئله، اویلر روش تحلیل و شاخه جدیدی از ریاضیات را اختراع کرد که امروزه با عنوان نظریه گراف شناخته می گردد.

اویلر متوجه شد که در مسئله کونیگسبرگ چیدمان دقیق شهر یا انتخاب مسیر اهمیتی ندارد. تنها چیزی که مهم است، این است که چطور چیزها به هم متصل شده اند. این دانش او را قادر ساخت تا نقشه شهر را به یک شبکه مرتب یا گراف تبدیل کند که در این گراف خشکی ها به وسیله نقطه و پل ها به وسیله خطوط پیوندی بین نقطه ها معین شده اند.

اویلر تشخیص داد که فقط یک مرتبه می توانیم از هر پیوند (پل) عبور کنیم؛ بنابراین هر گره (خشکی) باید تعداد زوجی پیوند داشته باشد. این به این دلیل است که هر وقت شما به وسیله یک پیوند وارد یک گره شوید، مجبور هستید به وسیله پیوند دیگری از آن خارج شوید. بنابراین اگر یک مرتبه از گره عبور کنید، دو پیوند و اگر دو مرتبه از آن عبور کنید، چهار پیوند نیاز خواهید داشت. تنها گره هایی که می توانند تعداد فردی پیوند داشته باشند، گره های ابتدایی و انتهایی حرکت هستند.

حال با نگاه به گراف می توانیم بگوییم که چرا پاسخ مسئله کونیگسبرگ منفی است. به این دلیل که هر گره در گراف تعداد فردی پیوند متصل دارد. به طور کلی اویلر نشان داد که احتمال یک عبور از یک گراف با عبور تنها یک مرتبه از هر پیوند، به تعداد پیوندهای متصل به هر گره بستگی دارد. زیبایی این استدلال این است که برای هر شبکه ای هر قدر بزرگ یا پیچیده، جواب می دهد.

امروزه نظریه گراف یک ابزار اساسی در تحقیقات ریاضی و دارای کاربرد در زمینه های متنوع مانند مهندسی برق، برنامه نویسی و شبکه های کامپیوتر، مدیریت بازرگانی، جامعه شناسی، اقتصاد، بازاریابی، ارتباطات و غیره است. پژوهش های اخیر نشان می دهد که نظریه گراف می تواند بینش های جذابی در زمینه تحلیل ارتباطات بین سلول های عصبی که باعث ایجاد آلزایمر می شوند، فراهم کند.

امروز عبور از هفت پل کونیگسبرگ همانطور که اویلر با سختی ریاضیات نشان داد، همچون همان زمان امری غیرممکن است، ولی نه به دلیل نبود مسیری مناسب بلکه به این دلیل که بیشتر پل ها دیگر در حالت اصلی خود وجود ندارند.

پل بازرگان (Merchants Bridge) و پل سبز (Green Bridge) که به جزیره Kneiphof وارد و خارج می شوند، در زمان جنگ جهانی دوم تخریب و به وسیله دو روگذر 500 متری جایگزین شدند. پل های Schmiedebrücke و Köttelbrücke هم از بمب های جنگ جهانی دوم جان سالم به در نبردند و جایگزین هم نشدند. پل Honigbrücke یا پل عسل (Honey Bridge) جزیره Lomse را به شرق Kneiphof متصل می نماید. این پل تنها پلی از جزیره Kneiphof است که در جنگ جهانی دوم سالم مانده و امروز دیده می گردد. پل Holzbrücke یا پل چوبی (Wooden Bridge) جزیره Lomse را به کناره شمالی رود پرگولیا متصل می نماید. این پل هم در جنگ سالم ماند و امروز وجود دارد. پل هفتم و پل آخر Hohe Brücke یا پل بلند (High Bridge) زمانی به جزیره Lomse ختم می شد. این پل تخریب و به وسیله پل جدیدی جایگزین شده است.